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====== 数据标准化 ======

===== 一 数据标准化的定义 =====


在进行数据分析之前，通常要收集大量不同的相关指标，每个指标的性质、量纲、数量级、可用性等特征均可能存在差异，导致我们无法直接用其分析研究对象的特征和规律。当各指标间的水平相差很大时，如果直接用指标原始值进行分析，数值较高的指标在综合分析中的作用就会被放大，相对地，会削弱数值水平较低的指标的作用。

比如，在评价不同时期的物价指数时，较低价格的蔬菜和较高价格的家电的价格涨幅都可以被纳入其中，但是由于它们的价格水平差异较大，如果直接用其价格做分析，会使价格水平较高的家电在综合指数中的作用被放大。因此，为了保证结果的可靠性，需要对原始指标数据进行变换处理，使不同的特征具有相同的尺度。

标准化指将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。在某些比较和评价的指标处理中经常会用到，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。


===== 二 数据标准化的原因 =====

1.某些算法要求样本具有零均值和单位方差；

需要消除样本不同属性具有不同量级时的影响：

①数量级的差异将导致量级较大的属性占据主导地位；

②数量级的差异将导致迭代收敛速度减慢；

③依赖于样本距离的算法对于数据的数量级非常敏感。

在不同的问题中，标准化的意义不同：

（1）在回归预测中，标准化是为了让特征值有均等的权重；

（2）在训练神经网络的过程中，通过将数据标准化，能够加速权重参数的收敛；

（3）主成分分析中，需要对数据进行标准化处理；默认指标间权重相等，不考虑指标间差异和相互影响。


===== 三 数据标准化的方法 =====


目前数据标准化方法有很多，大概可以分为：直线型方法(如极值法、标准差法)、折线型方法(如三折线法)、曲线型方法(如半正态性分布)。不同的标准化方法，对系统的评价结果会产生不同的影响，而且在数据标准化方法的选择上，还没有通用的法则可以遵循。

常见的方法有：min-max标准化（min-max normalization）、log函数转换、atan函数转换、z-score标准化（zero-mena normalization，此方法比较常用）、模糊量化法。


1.min-max标准化（归一化）

也叫极差标准化法，是消除变量量纲和变异范围影响最简单的方法。

具体方法：找出每个属性的最小值和最大值，将其一个原始值x通过min-max标准化映射成在区间[0,1]中的值x'。

公式：X' = (X-Xmin) / (Xmax-Xmin)

无论原始数据是正值还是负值，经过处理后，该变量各个观察值的数值变化范围都满足0≤X'≤1，并且正指标、逆指标均可转化为正向指标，作用方向一致。

但如果有新数据加入，就可能会导致最大值（Xmax）和最小值（Xmin）发生变化，就需要进行重新定义，并重新计算极差（R）。


2.z-score标准化（规范化）

当遇到某个指标的最大值和最小值未知的情况，或有超出取值范围的离群数值时，上面的方法就不再适用了，可以采用另一种数据标准化最常用的方法，即Z-score标准化，也叫标准差标准化法。

它基于原始数据的均值（mean）和标准差（standarddeviation）进行数据的标准化，将A的原始值x使用z-score标准化到x'。

z-score标准化方法适用于属性A的最大值和最小值未知的情况，或有超出取值范围的离群数据的情况。

新数据=（原数据- 均值）/ 标准差

均值和标准差都是在样本集上定义的，而不是在单个样本上定义的。标准化是针对某个属性的，需要用到所有样本在该属性上的值。

数据标准化最常用的是这两种：极差标准化法、Z-score标准化法。


3.线性比例标准化法

（1）极大化法

对于正指标，取该指标的最大值Xmax，然后用该变量的每一个观察值除以最大值，即：X' =X / Xmax。（X≥0）

（2）极小化法

对于逆指标，取该指标的最小值Xmin，然后用该变量的最小值除以每一个观察值，即：X' = Xmin / X。（X＞0）

注：以上两种方法不适用于X<0的情况。

正指标：是一种评估指标，指标数值大小与司法绩效高低一致；正指标越大越好。

逆指标：是强度相对的指标，指标数值大小与司法绩效高低相反；逆指标越小越好。

对于逆向指标使用线性比例法进行标准化后，实际上是进行了非线性的变换，变换后的指标无法客观地反映原始指标的相互关系，转换时需要注意。


4.log函数标准化法

首先对该变量的每一个观察值取以10为底的log值，然后再除以该指标最大值（Xmax）的log值，即：

X' = log10(X) / log10 (Xmax)

注：x=log10(X)的区间不一定在[0,1]；Xmax为样本最大值；此方法要求X≥1。


5.反正切函数标准化法

通过三角函数中的反正切函数（arctan）也可以实现数据的标准化转换。

计算方法：X' = arctan(X)*2 / π

注：如果原始数据为正、负实数，则标准化后的数据区间为-1≤X'≤1；若要得到0≤X'≤1区间，则原始数据应该保证X≥0。


6.atan函数转换

用反正切函数也可以实现数据的归一化，使用这个方法需要注意的是如果想映射的区间为[0,1]，则数据都应该大于等于0，小于0的数据将被映射到[-1,0]区间上。


7.归一化

把数据映射到0-1范围内，使数据处理更加便捷。

Xn=Xi/(X1+X2+……+Xn);Xn的和=1。


===== 四 标准化的意义 =====


标准化、归一化的区别：

归一化是标准化的一种，它的缩放仅与最大、最小值的差别有关；输出范围在0—1间；

标准化缩放和每个值都有关系，通过方差体现出来。当数据更集中时，数据标准化后更分散；数据分布很广时，数据标准化后会更集中。输出范围是一个特定的区间，在-∞—+∞。

如果对输出结果范围有要求，用归一化；

如果数据较稳定，不存在极端的最大最小值，用归一化；

如果数据有异常值和较多噪音，用标准化，可间接通过中心化避免异常值、极端值的影响。

数据标准化其实是对向量X按比例压缩再平移，本质上是一种线性变换。线性变换又很多良好的性质，这决定了对数据变换后的数据反而能提高数据效率。比如：线性变换不改变原始数据的数值排序。这保证了数据变换后依然有意义，因为线性变换保持线性组合与线性关系式不变。
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