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====== 利息和利率 ======

===== 利息 =====

利息是指在偿还借款时，大于本金的那部分金额。是指在借贷关系中，由借入方支付给贷出方的报酬。

利息的本质是资金所有者由于借出资金而取得的报酬，它来自生产者使用该笔资金发挥营运职能而形成的利润的一部分。是指货币资金在向实体经济部门注入并回流时所带来的增值额。

利息的多少取决于三个因素：本金、存期和利息率水平。

利息计算的基本公式为：利息=本金×存期×利率

存期计算规定：

  - 算头不算尾，计算利息时，存款天数一律算头不算尾，即从存入日起算至取款前一天止；
  - 不论闰年、平年，不分月大、月小，全年按360天，每月均按30天计算；
  - 对年、对月、对日计算，各种定期存款的到期日均以对年、对月、对日为准。即自存入日至次年同月同日为一对年，存入日至下月同一日为对月；

===== 利率 =====

利率，又叫利息率，是衡量利息高低的指标。是指一定时期内利息额同借贷资本总额的比率。

利率=利息/本金

按计算利息的期限单位划分：年利率、月利率和日利率，三者的换算关系是：年利率=月利率×12（月）=日利率×360（天）。

===== 单利和复利 =====

利息计算有两种方式，一种是单利法，只算本金的利息，不考虑利息产生的利息，第二种是就是复利法，利息算入本金一起算下一期的利息。

假设本金为P，年利率为r，年数为n，则复利法计算的本息合计为：

$$F=P(1+r)^n$$

以上利用复利法根据现值求终值的过程，叫做复利过程，而这个公式就是复利公式。

如果已知终值（本息合计）F，现值（本金）P，投资年数，则年化利率r的计算公式：

$$r=\left(\frac{F}{P}\right)^{1/n}-1$$

===== 现金流折现 =====

假如一笔投资，本金为P，第n年收回现金$F_n$，则这笔现金流现在的价值是多少，把复利公式倒过来：

$$P=\frac{F_n}{(1+r)^n}$$

这个公式叫做折现公式，而利率r在这里叫做折现率或贴现率。

===== 年金 =====

年金（Annuity）是指一定时期内，每隔一个相等的时期，收到或付出的相同数量款项。年金的形式包括保险费、养老金、直线法下计提的折旧、租金、等额分期收款、等额分期付款等，年金具有等额性和连续性特点，但年金的间隔期不一定是一年。

假设年金为A，收付期数为n，则n期年金用折现率r折现的现值：

$$P=A\left(\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}\right)$$

如果年金收付一直持续下去，则n趋于无穷大，这种无限期的年金称为永续年金。永续年金现值将趋向于：

$$P=\frac{A}{r}$$

以上公式，如果把P看做本金，A看作利息，r看作利率，则可以构成基本利息等式： 利息 = 本金 * 利率。

在房产市场，房租可以看作一种永续年金。一套100万买的房子拿来出租，每月租金2000，它的“利率”：r = A / P = 2000/1000000 =1/500 = 0.2% 。这个“利率”，有一个专用名词，叫做“租售比”，意味着500个月（42年）能收回全部房款。

===== 年化利率 =====

年化利率，也叫年化收益率，是指投资期限为一年所获的收益率，是把当前收益率（日收益率、周收益率、月收益率）换算成年收益率来计算的，是一种理论收益率，并不是真正的已取得的收益率。换言之，年化收益率是计算出来的，只是一个短期收益的年化显示。只有在未来收益一直保持不变的情况下，年化收益率才会等于年利率。年化收益与实际收益的公式如下：

年化收益率=[（投资内收益 / 本金）/ 投资天数] *365 ×100%

年化收益=本金×年化收益率

实际收益=本金×年化收益率×投资天数/365

七天年化利率指的是将过去7天所获的总收益进行年化计算之后所得到的年化利率。七日年化收益率是年化收益率的一种计算方式，就是把周收益率转化为年收益率来计算的，其实就是最近七天的平均收益率。

七日年化收益率=七日平均收益率（%）x 365=七日总收益率（%）/ 7 x 365

===== 分期还款 =====

两种分期还款方式：等额本金和等额本息。等额本金最大的特点是每月的还款额不同，呈现逐月递减的状态。等额本息最重要的一个特点是每月的还款额相同。等额本息比等额本金的应还利息要多。通过现金流折现后，两者的结果完全相等，等额本金与等额本息对银行来说，其投资收益都是一样的。所以，等额本息还款用多付的利息支付了更多的资金占用成本。

==== 等额本金 ====

等额本金法是将贷款本金按还款的总月数均分，再加上上期剩余本金的利息，这样就形成月还款额，由于是利息全还，在下个月将不会产生利息的利息(所以是单利，计算简单)。

每月归还的本金额始终不变，利息随剩余本金的减少而减少，因而其每月还款额逐渐减少。

假设本金为P，月利率为r（年利率/12），还款期数为n，计算公式为：

$$ 
\begin{aligned}
& 每月本金=P/n \\
& 每月利息=(P - P/n*(i-1)) * r \\
& 每月还本付息金额=P/n + (P - P/n*(i-1)) * r \\
& 总利息=P*\frac{n+1}{2}*r \\
& 其中i=1,2,3,...,n，表示第i个还款期 \\
\end{aligned}
$$

==== 等额本息 ====

等额本息法先要计算得出贷款期内本金和利息之和(还款总额)，再平摊到每个月进行还款，而这个还款总额是一个利滚利(月复利)的结果，当然因为每月都在还款，并非所有利息及本金都会参与复利。在等额本息法中，利息在月供款中的比例会随本金的减少而降低，本金在月供款中的比例因而升高，但月供总额保持不变。

等额本息还款实际上是一笔年金还款，依照年金公式，假设本金为P，每月还款额为A，月利率为r（年利率/12），还款期数为n，其计算公式为：


$$ A = P \times \frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n-1} $$

每月应还本金和应还利息可以迭代计算（其中第一个月的剩余本金为贷款总额）：

$$ 每月应还利息 = 剩余本金 \times 月利率 $$

$$ 每月应还本金 = A - 每月应还利息 $$

$$ 还款总额 = A*n $$

$$ 还款总利息= A*n - P $$

注：每月应还本金也可以理解为每月还款额使用当月的折现系数折现后的现值。即：

$$ 每月应还本金 = \frac{A}{(1+r)^i } $$

每月还款应还本金与还款额的差就是每月应还利息。即

$$ 每月应还利息 = A - 每月应还本金 $$

但两种方法计算的每月还款额中本金和利息的比例正好相反。在还款期中，如果月利率不变，则两种算法结果相同；如果月利率浮动，则要调整剩余本金，第一种方法较为合理。

===== 内部收益率 =====

内部收益率（Internal Rate of Return, IRR），就是资金流入现值总额与资金流出现值总额相等，净现值等于零时的折现率。

净现值（Net Present Value, NPV）是投资项目各年现金流量净值使用基准利率折现后的现值。净现值越大越好，理论上净现值>0项目就可行。净现值是基准利率的函数，并且随着基准利率的增大而减小。当这个基准利率增大到使净现值为零时，这个基准利率（折现率）就是项目的内部收益率。

内部收益率是一个宏观概念指标，理解为项目投资的赢利空间，表示投资收益能承受的最大货币贬值，也表示项目操作过程中抗风险能力。另外如果项目操作中需要贷款，则内部收益率可表示最大能承受的利率。

计算内部收益率的过程：

  - 计算净现值，如果净现值是正值，就提高折现率来测算，直到测算的净现值正值近于零。
  - 再继续提高折现率，直到测算出一个净现值为负值。如果负值过大，就降低折现率后再测算到接近于零的负值。
  - 根据接近于零的相邻正负两个净现值的折现率，用线性插值法求得内部收益率。
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