在数据分析工作中，“数据打架”是常见难题——当身高以“厘米”为单位、体重以“千克”为单位同时进入模型时，数值范围的差异会严重干扰分析结果。Z-score标准化正是解决这一问题的核心工具，它能将不同量级的数据转化为统一尺度，为后续分析扫清障碍。

Z-score标准化（Standard Score Normalization），又称标准差标准化或Z值标准化，是一种将原始数据转换为均值为0、标准差为1的标准化数据的统计方法。通过该方法处理后的数据（即Z值），能够直观反映原始数据在整体数据分布中的相对位置，有效消除不同变量间的量纲和量级差异，使多维度数据具备可比较性。

z-score 也叫 standard score， 用于评估样本点到总体均值的距离。z-score主要的应用是测量 原始数据 与数据总体均值相差多少个标准差。

z-score是比较测试结果与正常结果的一种方法。测试与调查的结果往往有不同的单位和意义，简单地从结果本身来看可能毫无意义。当我们知道小明数学考了90分（满分100），我们也许会认为这是一个好消息，但是如果我们拿小明的成绩与班上平均成绩相比较，我们也许会深感惋惜。z-score可以告诉我们小明数学成绩和总体数学平均成绩的比值。

2.1 Z Score 公式：单个样本的情况

当样本只有一个时，z score的规则是：

$$ z=\frac{x-\mu}{\sigma} $$

举个例子，小明的数学成绩是90，班级的数学平均成绩为95，标准超为2，此时对于此例中的z score为：

$$ z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{90-95}{2}=-2.5 $$

z-score告诉我们这个分数距离平均分数相差几个标准差。此例中，小明的数学分数低于班级平均分数2.5个标准差。

当我们不知道数据总体的 $ \mu $和 $ \sigma $，我们可以使用样本均值 $ \overline{x}$ 和样本标准差 $S$，此时我们可以用下式精确地表示式（1）：

$$ z_i=\frac{x_i-\overline{x}}{S} $$

其计算公式为：Z = (X - μ) / σ，其中X代表原始数据，μ是数据样本的均值，σ是样本的标准差。简单来说，Z值本质上反映了原始数据与样本均值的偏离程度，以标准差为“尺子”量化这种偏离，正Z值表示数据高于均值，负Z值则表示低于均值。

2.2 Z Score 公式：均值的标准误差

如果我们有多个样本，并且想知道这些样本均值 x‾\overline{x}x 与总体均值距离多少个标准差，可以使用此公式：

$$ z=\frac{\overline{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} $$

​举个例子，考过这张数学卷子的人的平均成绩为80，标准差为15。那么对于包括小明等40位同学所在的班级来说

$$ z=\frac{\overline{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{95-80}{15/\sqrt{40}}=6.3 $$

Z-Score表示抽样样本值与数据均值相差标准差的数目。举个例子：

• z-score = 1 意味着样本值超过均值 1 个标准差；
• z-score = 2 意味着样本值超过均值 2 个标准差；
• z-score = -1.8 意味着样本值低于均值 1.8 个标准差。

z-score告诉我们样本值在正态分布曲线中所处的位置。z-score = 0告诉我们该样本正好位于均值处，z-score = 3 则告诉我们样本值远高于均值。

Z Score是一个经常被用于 数据标准 化的方法。在多指标评价体系中，由于各评价指标的性质不同，通常具有不痛的数量级和单位，如果直接利用原始数据，就会突出数值较高的指标在分析中的作用，相对弱化数值较低指标的作用。因此，为了保证结果的可靠性，需要对原始数据进行 标准化 。

对于样本序列 x1,x2,…,xnx_1,x_2,…,x_nx1​,x2​,…,xn​进行标准化，根据公式（2）有yi=xi−x‾sy_i = \frac{x_i-\overline{x}}{s}yi​=sxi​−x​产生的新序列 y1,y2,…,yny_1,y_2,…,y_ny1​,y2​,…,yn​ 是均值位0，方差为1，无量纲的数据。